Exemple : utilisation du produit scalaire pour déterminer la mesure d'un angle

Exemple

On se place dans un repère orthonormé \((\text{O}\,;\vec{i},\vec{j})\) du plan.
On considère les points \(\text{R}(1\,;2)\), \(\text{S}(5\,;3)\) et \(\text{T}(8\,;-1)\). 
On cherche à déterminer la mesure en degrés de l'angle \(\widehat{\text{SRT}}\), arrondie au dixième, en calculant le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{RS}}\cdot\overrightarrow{\text{RT}}\) de deux façons différentes.

Commençons par calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{\text{RS}}\) et \(\overrightarrow{\text{RT}}\) et leur norme.
\(\overrightarrow{\text{RS}}  \begin{pmatrix} x_{\text{S}}-x_{\text{R}}\\y_{\text{S}}-y_{\text{R}} \end{pmatrix}\) soit  \(\overrightarrow{\text{RS}}  \begin{pmatrix} 5-1\\ 3-2\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{RS}} \begin{pmatrix} 4\\ 1\end{pmatrix}\)

d'où \(\Vert\overrightarrow{\text{RS}}\Vert=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\)

 \(\overrightarrow{\text{RT}}  \begin{pmatrix} x_{\text{T}}-x_{\text{R}}\\y_{\text{T}}-y_{\text{R}} \end{pmatrix}\) soit  \(\overrightarrow{\text{RT}}  \begin{pmatrix} 8-1\\ -1-2\end{pmatrix}\) soit \(\overrightarrow{\text{RT}} \begin{pmatrix} 7\\ -3\end{pmatrix}\)

d'où \(\Vert\overrightarrow{\text{RT}}\Vert=\sqrt{7^2+(-3)^2}=\sqrt{58}\)

On peut calculer d'une première façon le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{RS}}\cdot\overrightarrow{\text{RT}}\) en utilisant la formule avec les coordonnées dans un repère orthonormé.
\(\overrightarrow{\text{RS}}\cdot\overrightarrow{\text{RT}}=4 \times 7 + 1 \times (-3)=28-3=25\).

On peut calculer d'une deuxième façon le produit scalaire \(\overrightarrow{\text{RS}}\cdot\overrightarrow{\text{RT}}\) en utilisant la définition avec le cosinus.
\(\overrightarrow{\text{RS}}\cdot\overrightarrow{\text{RT}}=\Vert\overrightarrow{\text{RS}}\Vert \times \Vert\overrightarrow{\text{RT}}\Vert \times \cos(\widehat{\text{SRT}})\)
d'où \(\cos(\widehat{\text{SRT}})=\dfrac{\overrightarrow{\text{RS}}\cdot\overrightarrow{\text{RT}}}{\Vert\overrightarrow{\text{RS}}\Vert\times \Vert\overrightarrow{\text{RT}}\Vert}\)
d'où \(\cos(\widehat{\text{SRT}})=\dfrac{25}{\sqrt{17} \times \sqrt{58}}\).

À l'aide de la calculatrice, on obtient \(\widehat{\text{SRT}}\approx 37{,}2°\).